I. DERIVADAS
#1
$$f(x) = e^{3x^2 + 2x + 1}$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot u'$ (Cadena Exponencial)
- 2. $\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ (Potencia)
- 3. $\frac{d}{dx}[cx] = c$ (Lineal)
Paso 1: Derivar el exponente ($u$) aparte
$u = 3x^2 + 2x + 1$
$u' = (3 \cdot 2x) + (2 \cdot 1) + 0$
$u' = 6x + 2$
Paso 2: Aplicar fórmula
Multiplicamos la función original por $u'$.
$$f'(x) = e^{3x^2 + 2x + 1} \cdot (6x + 2)$$
Paso 3: Factorización
Sacamos factor común 2 de $(6x+2)$.
$6x + 2 = 2(3x + 1)$
$$f'(x) = 2(3x + 1)e^{3x^2 + 2x + 1}$$
#2
$$g(x) = \frac{x^3}{\ln(x)}$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (Cociente)
- 2. $\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$ (Potencia)
- 3. $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$ (Logaritmo)
Paso 1: Definir piezas
Arriba ($u$) = $x^3 \to u' = 3x^2$
Abajo ($v$) = $\ln x \to v' = 1/x$
Paso 2: Reemplazar en fórmula
$$g'(x) = \frac{(3x^2)(\ln x) - (x^3)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2}$$
Paso 3: Simplificar álgebra
Multiplicar $x^3$ por $1/x$ es restar un exponente.
$x^3 \cdot \frac{1}{x} = x^2$
Numerador: $3x^2\ln x - x^2$
$$g'(x) = \frac{x^2(3\ln(x) - 1)}{\ln^2(x)}$$
#3
$$\sin(x) + \cos(y) = xy$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
- 2. $\frac{d}{dx}[\cos y] = -\sin y \cdot y'$ (Implícita)
- 3. $\frac{d}{dx}[xy] = 1\cdot y + x\cdot y'$ (Producto)
Paso 1: Derivar línea completa
Aplicamos las reglas término a término.
$\cos(x) - \sin(y)y' = y + xy'$
Paso 2: Agrupar términos $y'$
Movemos $xy'$ a la izquierda y $\cos(x)$ a la derecha.
$-\sin(y)y' - xy' = y - \cos(x)$
Multiplicamos por -1 para ordenar signos.
$\sin(y)y' + xy' = \cos(x) - y$
$$y' = \frac{\cos(x) - y}{x + \sin(y)}$$
#4
$$h(x) = \ln(2x^3 - x^2 + 3x - 1)$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\frac{d}{dx}[\ln u] = \frac{u'}{u}$ (Logaritmo Compuesto)
- 2. Regla de potencias para el polinomio.
Paso 1: Derivar argumento ($u'$)
$u = 2x^3 - x^2 + 3x - 1$
$u' = (2\cdot 3x^2) - (2x) + 3 - 0$
$u' = 6x^2 - 2x + 3$
$$h'(x) = \frac{6x^2 - 2x + 3}{2x^3 - x^2 + 3x - 1}$$
#5
$$f(x) = \frac{e^x - 1}{\sqrt{x}}$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- 2. Cociente: $\frac{u'v - uv'}{v^2}$
- 3. $e^x \to e^x$
Paso 1: Componentes
$u = e^x - 1 \to u' = e^x$
$v = \sqrt{x} \to v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Paso 2: Fórmula Cociente
$$f'(x) = \frac{e^x\sqrt{x} - (e^x - 1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$$
Paso 3: Limpieza Algebraica
Multiplicamos numerador y denominador por $2\sqrt{x}$.
$e^x\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} = 2xe^x$
$(e^x - 1)\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} = (e^x - 1)$
$$f'(x) = \frac{e^x(2x - 1) + 1}{2x\sqrt{x}}$$
#6
$$g(x) = \frac{x^2 \sin(x)}{x^2 + 1}$$
Inventario de Reglas:
- 1. Producto (Numerador): $u'v + uv'$
- 2. Cociente (Global): $\frac{N'D - ND'}{D^2}$
- 3. $\sin x \to \cos x$
Paso 1: Derivar Numerador
Es un producto $x^2 \cdot \sin x$.
$N' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x)$
Paso 2: Aplicar Cociente
$$g'(x) = \frac{[2x\sin x + x^2\cos x](x^2+1) - (x^2\sin x)(2x)}{(x^2+1)^2}$$
Paso 3: Cancelar términos
Al expandir, $2x\sin x \cdot x^2$ se anula con el término final.
$$g'(x) = \frac{x^2(x^2+1)\cos x + 2x\sin x}{(x^2+1)^2}$$
#7
$$x^3 + y^3 = 9xy$$
Inventario de Reglas:
- 1. Potencia: $3x^2$
- 2. Implícita: $y^3 \to 3y^2y'$
- 3. Producto (Derecha): $9(y + xy')$
Paso 1: Derivación
$3x^2 + 3y^2y' = 9y + 9xy'$
Paso 2: Simplificar y Agrupar
Dividimos todo por 3.
$x^2 + y^2y' = 3y + 3xy'$
$y^2y' - 3xy' = 3y - x^2$
$$y' = \frac{3y - x^2}{y^2 - 3x}$$
#8
$$h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$$
Inventario de Reglas:
- 1. Cociente $\frac{u}{v}$
- 2. $\ln x \to 1/x$
- 3. $x \to 1$
Paso 1: Sustitución en fórmula
$$h'(x) = \frac{(1/x)(x) - (\ln x)(1)}{x^2}$$
Paso 2: Operar
$\frac{1}{x} \cdot x = 1$
$$h'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$$
#9
$$f(x) = e^{x^3}$$
Inventario de Reglas:
- 1. Cadena Exponencial: $e^u \cdot u'$
- 2. Potencia: $x^n \to nx^{n-1}$
Paso 1: Derivar el exponente ($u$)
$u = x^3$
$u' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$
Paso 2: Aplicar fórmula
$f'(x) = e^{x^3} \cdot (3x^2)$
$$f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$$
#10
$$g(x) = \ln(x) \cdot \cos(x)$$
Inventario de Reglas:
- 1. Producto: $u'v + uv'$
- 2. $\ln x \to 1/x$
- 3. $\cos x \to -\sin x$
Paso 1: Armar el producto
Derivada 1ro: $1/x$
Derivada 2do: $-\sin x$
Cruzamos: $(\frac{1}{x})\cos x + (\ln x)(-\sin x)$
$$g'(x) = \frac{\cos(x)}{x} - \ln(x)\sin(x)$$
#11
$$e^x + y^2 = \sin(xy)$$
Inventario de Reglas:
- 1. Cadena Trigonométrica: $\cos(u) \cdot u'$
- 2. Producto interno: $(xy)' = y + xy'$
- 3. Implícita $y^2 \to 2yy'$
Paso 1: Derivada Global
$e^x + 2yy' = \cos(xy) \cdot [y + xy']$
Paso 2: Distribuir y Agrupar
$e^x + 2yy' = y\cos(xy) + xy'\cos(xy)$
$2yy' - xy'\cos(xy) = y\cos(xy) - e^x$
$$y' = \frac{y\cos(xy) - e^x}{2y - x\cos(xy)}$$
#12
$$h(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}$$
Inventario de Reglas:
- 1. Cociente
- 2. Cadena Seno: $\sin(x^2) \to \cos(x^2) \cdot 2x$
Paso 1: Aplicar Cociente
$$h'(x) = \frac{[2x\cos(x^2)](x) - \sin(x^2)(1)}{x^2}$$
Paso 2: Multiplicar términos
$2x \cdot x = 2x^2$
$$h'(x) = \frac{2x^2\cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}$$
#13
$$f(x) = \sqrt{e^{2x} - 1}$$
Inventario de Reglas (Cebolla):
- 1. Raíz: $\frac{1}{2\sqrt{u}}$
- 2. Exponencial: $e^{2x}$
- 3. Exponente: $2x \to 2$
Paso 1: Cadena Triple
Derivamos de afuera hacia adentro.
$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{2x}-1}} \cdot e^{2x} \cdot 2$$
Paso 2: Cancelación
El 2 del numerador cancela el 2 del denominador.
$$f'(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$$
#14
$$g(x) = \frac{\tan(x)}{x^2}$$
Inventario de Reglas:
- 1. $\tan x \to \sec^2 x$
- 2. $x^2 \to 2x$
- 3. Cociente
Paso 1: Fórmula
$$g'(x) = \frac{(\sec^2 x)(x^2) - (\tan x)(2x)}{(x^2)^2}$$
Paso 2: Factorizar x
Numerador: $x(x\sec^2 x - 2\tan x)$
Denominador: $x^4$
Cancelamos una x.
$$g'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3}$$
#15
$$x^4 + y^4 = 16$$
Inventario de Reglas:
- 1. Potencia Implícita: $4y^3 y'$
- 2. Derivada Constante: $16 \to 0$
Paso 1: Derivación
$4x^3 + 4y^3y' = 0$
Paso 2: Despeje
$4y^3y' = -4x^3$
Los 4 se cancelan al dividir.
$$y' = -\frac{x^3}{y^3}$$
II. INTEGRALES
#1
$$I = \int e^{x^2} \sin(x) \, dx$$
Intento: Sustitución
- Probar $u = x^2$
- $du = 2x dx$
Paso 1: Aplicar cambio
$$I = \int e^u \sin(x) \frac{du}{2x}$$
Conclusión: Queda una mezcla de $u$ y $x$ imposible de separar. No es una integral elemental.
#2
$$I = \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx$$
Inventario de Reglas:
- 1. Sustitución $u = \ln x$
- 2. Derivada $du = 1/x dx$
Paso 1: Reemplazo
El término $dx/x$ es exactamente $du$.
$$I = \int \frac{1}{u} du$$
$$I = \ln|\ln(x)| + C$$
#3
$$I = \int \cos^2(x) \, dx$$
Herramienta:
Identidad: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
Paso 1: Separar
$$I = \int \frac{1}{2} dx + \int \frac{1}{2}\cos(2x) dx$$
Paso 2: Integrar
1. $\frac{1}{2}x$
2. $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{4}\sin(2x)$
$$I = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$
#4
$$I = \int \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \, dx$$
Estrategia:
- 1. Sustitución $w = \sqrt{x}$
- 2. Integración por Partes
Paso 1: Cambio de variable
$x = w^2 \to dx = 2w dw$
$\ln x = 2\ln w$
Integral: $\int \frac{2\ln w}{w} 2w dw = 4\int \ln w$
Paso 2: Resultado de $\ln w$
$4(w\ln w - w)$
$$I = 4\sqrt{x}\ln(\sqrt{x}) - 4\sqrt{x} + C$$
#5
$$I = \int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx$$
Intentamos sustitución $u=x^2+1$ (falla por falta de $2x$) y $u=e^x$ (falla por logaritmo). No tiene solución elemental.
#6
$$I = \int \frac{x \sin(x)}{x^2 + 1} \, dx$$
La integración por partes introduce $\ln(x^2+1)$ multiplicado por trigonométricas. No tiene solución elemental.
#7
$$I = \int x^2 \cos(x) \, dx$$
Inventario:
Partes x2: $\int u dv = uv - \int v du$
Paso 1: Primera iteración ($u=x^2$)
$x^2\sin x - \int 2x\sin x$
Paso 2: Segunda iteración ($u=2x$)
Resulta en: $-2x\cos x + 2\sin x$
$$I = x^2\sin(x) + 2x\cos(x) - 2\sin(x) + C$$
#8
$$I = \int \ln(x) \sin(x) \, dx$$
Conduce a la función Integral Coseno $Ci(x)$, que no se puede expresar con funciones básicas.
#9
$$I = \int \frac{e^x}{x^3} \, dx$$
Al reducir la potencia, llegamos a $\int e^x/x$, que es la función Integral Exponencial $Ei(x)$.
#10
$$I = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx$$
Observación:
La derivada de $\sin x$ es $\cos x$.
Paso 1: Sustitución
$u = \sin x \to du = \cos x dx$
$\int \frac{1}{u} du$
$$I = \ln|\sin(x)| + C$$
#11
$$I = \int x^2 e^{-x^2} \, dx$$
Es una variante de la integral Gaussiana. Se define con la Función Error (erf), no elemental.
#12
$$I = \int \ln(x) \cos(x) \, dx$$
Similar al #8, conduce a la función Integral Seno $Si(x)$.
#13
$$I = \int \frac{e^x}{x^2 \ln(x)} \, dx$$
Combinación trascendente compleja sin solución cerrada.
#14
$$I = \int x^2 e^x \, dx$$
Inventario:
Método Tabular (Derivar polinomio, Integrar exponencial)
Paso 1: Tabla
Deriv: $x^2 \to 2x \to 2 \to 0$
Integ: $e^x \to e^x \to e^x \to e^x$
Paso 2: Suma Diagonal
$+x^2e^x - 2xe^x + 2e^x$
$$I = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$
#15
$$I = \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx$$
Inventario:
- 1. Completar Cuadrado
- 2. Integral Arco Tangente
Paso 1: Álgebra
$x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$
Paso 2: Sustitución
$u = x+2$. Integral: $\int \frac{1}{u^2+1} du$
$$I = \arctan(x + 2) + C$$